Question

6．某校為了解一個英語教改實驗班的情況，舉行了一次測試，將該班30位學(xué)生的英語成績進(jìn)行統(tǒng)計，得圖示頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求出該班學(xué)生英語成績的眾數(shù)和平均數(shù)；
（2）從成績低于80分得學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，規(guī)定抽到的學(xué)生成績在[50，60）的記1績點(diǎn)分，在[60，80）的記2績點(diǎn)分，設(shè)抽取2人的總績點(diǎn)分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）英語成績在[80，90）區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的小矩形最高，由此能求出該班學(xué)生英語成績的眾數(shù)，由頻率分布直方圖得該班學(xué)生英語成績的平均數(shù)．
（2）成績低于80分的學(xué)生有12人，其中成績在成績在[50，60）的學(xué)生有2人，成績?yōu)閇60，80）的學(xué)生有10人，設(shè)抽取2人的總績點(diǎn)分為ξ，則ξ的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵英語成績在[80，90）區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的小矩形最高，
∴該班學(xué)生英語成績的眾數(shù)為85．
由頻率分布直方圖得該班學(xué)生英語成績的平均數(shù)為：
$55×\frac{2}{30}+65×\frac{4}{30}+75×\frac{6}{30}+85×\frac{10}{30}+95×\frac{8}{30}$=81．
（2）成績低于80分的學(xué)生有30×（$\frac{2}{30}+\frac{4}{30}+\frac{6}{30}$）=12人，
其中成績在成績在[50，60）的學(xué)生有$30×\frac{2}{30}$=2人，
成績?yōu)閇60，80）的學(xué)生有$30×（\frac{4}{30}+\frac{6}{30}）$=10人，
設(shè)抽取2人的總績點(diǎn)分為ξ，則ξ的可能取值為2，3，4，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{66}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{10}^{1}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{20}{66}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{10}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{45}{66}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{66}$	$\frac{20}{66}$	$\frac{45}{66}$

Eξ=$2×\frac{1}{66}+3×\frac{20}{66}+4×\frac{45}{66}$=$\frac{121}{33}$．

點(diǎn)評 本題考查英語成績的眾數(shù)及平均數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．