Question

11．已知直線l：x=5，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F，A是橢圓C上任意一點(diǎn)，|AF|的最小值為$\sqrt{5}$-1，且點(diǎn)A到直線l的距離最小值為5-$\sqrt{5}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若動(dòng)直線l₁：y=kx+m與橢圓C有且只有一個(gè)交點(diǎn)P，且與直線l交于點(diǎn)Q，問(wèn)：以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得5-a=5-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$．可得a-c=$\sqrt{5}$-1，即有c=1，由a，b，c的關(guān)系，可得b，可得橢圓方程；
（2）將直線y=kx+m代入4x²+5y²=20，運(yùn)用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，求得P的坐標(biāo)，設(shè)M（t，0），又Q（5，5k+m），運(yùn)用向量的坐標(biāo)，由以線段PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，可得$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，由恒成立思想即可得到定點(diǎn)．

解答 解：（1）由點(diǎn)A到直線l的距離最小值為5-$\sqrt{5}$，
可得5-a=5-$\sqrt{5}$，解得a=$\sqrt{5}$．
又|AF|的最小值為$\sqrt{5}$-1，可得
a-c=$\sqrt{5}$-1，即有c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）將直線y=kx+m代入4x²+5y²=20，
可得（4+5k²）x²+10kmx+5m²-20=0，
由△=100k²m²-4（4+5k²）（5m²-20）=0，
即m²=4+5k²，
x_P=-$\frac{5km}{4+5{k}^{2}}$，y_P=kx_P+m=$\frac{4}{m}$，即P（-$\frac{5km}{4+5{k}^{2}}$，$\frac{4}{m}$），
設(shè)M（t，0），又Q（5，5k+m），$\overrightarrow{MP}$=（-$\frac{5k}{m}$-t，$\frac{4}{m}$），$\overrightarrow{MQ}$=（5-t，5k+m），
即有$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{5k}{m}$-t）（5-t）+$\frac{4}{m}$（5k+m）=t²-5t+4+$\frac{5k}{m}$（t-1），
以線段PQ為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)x軸上的定點(diǎn)，可得
$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，即有$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}-5t+4=0}\\{t-1=0}\end{array}\right.$，解得t=1．
故存在點(diǎn)M（1，0）滿足題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意最小值的運(yùn)用，考查定點(diǎn)的求法，注意運(yùn)用直線和橢圓相切的條件：判別式為0，考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．