已知橢圓x2+2y2=a2（a＞0）的一個頂點和兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線y=k（x-1）與橢圓C交于A、B兩點，若點M（
11
4
，0），求證
MA
•
MB
為定值．
考點：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）由已知條件推導出b2=
a2
2
，
1
2
×b×2c=4，由此能求出橢圓方程．
（2）由
y=k(x-1)
x2+2y2=8
，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，設A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理結(jié)合已知條件能證明
MA
•
MB
為定值．
解答： （本題滿分（14分）；第（1）小題（6分），第（2）小題8分）
解：（1）設橢圓的短半軸為b，半焦距為c，
則b2=
a2
2
，由c2=a2-b2，得c2=a2-
a2
2
=
a2
2
，
由
1
2
×b×2c=4，解得a2=8，b2=4，
∴橢圓方程為
x2
8
+
y2
4
=1．（6分）
（2）由
y=k(x-1)
x2+2y2=8
，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-8=0，（8分）
設A（x1，y1），B（x2，y2），
由韋達定理得：x1+x2=
4k2
2k2+1
，x1x2=
2k2-8
2k2+1
，
∴
MA
•
MB
=(x1-
11
4
，y1)•(x2-
11
4
，y2)，
=x1x2-
11
4
(x1+x2)+
121
16
+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(
11
4
+k2)(x1+x2)+k2+
121
16

=(k2+1)
2k2-8
2k2+1
-(
11
4
+k2)
4k2
2k2+1
+k2+
121
16

=
-16k2-8
2k2+1
+
121
16
=-
7
16
，
∴
MA
•
MB
為定值-
7
16
．（14分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查向量的數(shù)量積為定值的證明，解題時要認真審題，注意橢圓的簡單性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

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已知點E（-
1
2
，0），點F是圓（x-
1
2
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Sn+100
n
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某選手欲參加“開心辭典”節(jié)目，但必須通過一項包含5道試題的達標測試．測試規(guī)定：對于提供的5道試題，參加者答對3道題即可通過．為節(jié)省測試時間，同時規(guī)定：若答題不足5道已通過，則停止答題，若答題不足5道，但已確定不能通過，也停止答題．假設該選手答對每道題的概率均為
2
3
，且各題對錯互不影響．
（Ⅰ）求該選手恰好答完4道題就通過點的概率；
（Ⅱ）設在一次測試中該選手答題數(shù)位ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望．

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解關于x的不等式：2x2+kx-k≤0．

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若x＞0，y＞0，且
x
（
x
+
y
）=3
y
（
x
+5
y
），求
2x+2
xy
+3y
x-
xy
+y
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設實數(shù)x，y滿足x+y=1，則
4
x
+
x
y
的取值范圍是
 
．

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