如圖，正方形CDEF內(nèi)接于橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），且它的四條邊與坐標軸平行，正方形GHPQ的頂點G，H在橢圓上，頂點P，Q在正方形的邊EF上．且CD=2PQ=
4
10
5
．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A，B兩個不同點，求證：直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出點E（
2
10
5
，
2
10
5
），點G（
4
10
5
，
10
5
），代入橢圓方程，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可．直線l方程為y=
1
2
x+m，代入橢圓方程
x2
8
+
y2
2
=1，消去y，利用韋達定理，結合斜率公式，化簡可得結論．
解答： （1）解：∵CD=
4
10
5
，∴點E（
2
10
5
，
2
10
5
），
又∵PQ=
2
10
5
，∴點G（
4
10
5
，
10
5
），
∴
8
5a2
+
8
5b2
=1
32
5a2
+
2
5b2
=1
解得
a2=8
b2=2
，
∴橢圓方程
x2
8
+
y2
2
=1．（4分）
（2）證明：設直線MA、MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設A（x1，y1），B（x2，y2），則
直線l方程為y=
1
2
x+m，代入橢圓方程
x2
8
+
y2
2
=1，
消去y，x2+2mx+2m2-4=0可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．（9分）
而k1+k2=
y1-1
x1-2
+
y2-1
x2-1
=
x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)
(x1-2)(x2-2)
=
2m2-4-2m2+4m-4m+4
(x1-2)(x2-2)
=0，（12分）
∴k1+k2=0，故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若實數(shù)x，y滿足
x-y-4≤0
x-3y≥0
y≥0
，則z=2x+y的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

“a=-7”是“直線（3+a）x+4y=5-3a與直線2x+（5+a）y=8互相平行”的（　　）
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充分必要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，已知集合A={（x，y）|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，則集合B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}內(nèi)的點所形成的平面區(qū)域的面積為（　�。�
A、2
B、1
C、
1
2
D、
1
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列四個命題：
（1）平面內(nèi)的一條直線與平面外的一條直線是異面直線；
（2）若三個平面兩兩相交，則這三個平面把空間分成7部分；
（3）用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺；
（4）一條直線與兩條異面直線中的一條直線相交，那么它和另一條直線可能相交、平行或異面．
其中真命題的個數(shù)是（　�。�
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C過點M（0，-2），N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）問是否存在滿足以下兩個條件的直線l：①斜率為1；②直線被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓C1過原點．若存在這樣的直線，請求出其方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y=
3
x相切，圓N：（x-2）2+y2=1．過點P（1，
3
）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問：
s
t
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1的一個焦點為（0，-
3
），且橢圓經(jīng)過點（
1
2
，
3
）．開口向上的拋物線C2的焦點到準線的距離為2，C1的中心和C2的頂點均為坐標原點O．
（1）求C1和C2的標準方程；
（2）A、B為拋物線C2上的點，分別過A、B作拋物線C2的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在其準線上．
    ①直線AB是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，說明理由；
    ②指出點Q與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在平面直角坐標系xOy中，P為不等式組
y-3≤0
3x+y-6≥0
x-y-2≤0
所表示的平面區(qū)域內(nèi)一動點，則線段|OP|的最小值等于
 
．

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