Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，中心在原點(diǎn)的橢圓C的上焦點(diǎn)為，離心率等于．

求橢圓C的方程；

設(shè)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，問(wèn)：線段OF上是否存在一點(diǎn)D，使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形？作出判斷并證明．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在滿足條件的點(diǎn)

【解析】

（1）根據(jù)題意可得，，即可求出橢圓方程；（2）設(shè)滿足條件的點(diǎn)，則，設(shè)的方程為：，（），代入橢圓方程，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直即，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的運(yùn)算即可求出．

解：（1）由題意可知橢圓的離心率，，

所以，，進(jìn)而橢圓的方程為

（2）存在滿足條件的點(diǎn).

設(shè)滿足條件的點(diǎn)，則（），

設(shè)的方程為：，（），代入橢圓方程，，

設(shè)，，則，∴.

∵以、為鄰邊的平行四邊形為菱形，∴

∵

∴，且的方向向量為

∴ 即

∵，∴，

∴，∴存在滿足條件的點(diǎn).