【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都由小正方形構(gòu)成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮,現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設(shè)第個圖形包含個小正方形.
(1)求出,,,并猜測的表達(dá)式;
(2)求證:.
【答案】(1);(2)見解析
【解析】
(1)先通過前4個圖形的變化規(guī)律得到出,,,,再利用累加法推導(dǎo)的表達(dá)式;(2)先化簡,再利用裂項抵消法進(jìn)行求和,再利用放縮法進(jìn)行證明.
(1)∵ f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,
∴ f(5)=25+4×4=41.
∵ f(2)-f(1)=4=4×1,
f(3)-f(2)=8=4×2,
f(4)-f(3)=12=4×3,
f(5)-f(4)=16=4×4,
由上式規(guī)律得出f(n+1)-f(n)=4n.
∴ f(n)-f(n-1)=4(n-1),
f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),
f(n-2)-f(n-3)=4·(n-3),
… …
f(2)-f(1)=4×1,
∴ f(n)-f(1)=4×[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2(n-1)·n,
∴ f(n)=2n2-2n+1(n≥2),
又n=1時,f(1)也適合f(n).
∴ f(n)=2n2-2n+1
(2)當(dāng)n≥2時,==,
∴
=1+
=1+=-
∴+++…+ .
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【題目】設(shè)橢圓 ()的一個焦點點為橢圓內(nèi)一點,若橢圓上存在一點,使得,則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知,,圓上的動點T滿足:線段TQ的垂直平分線與線段TP相交于點K.
Ⅰ求點K的軌跡C的方程;
Ⅱ經(jīng)過點的斜率之積為的兩條直線,分別與曲線C相交于M,N兩點,試判斷直線MN是否經(jīng)過定點若是,則求出定點坐標(biāo);若否,則說明理由.
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【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點, 為的中點.將沿折起到,使得平面平面(如圖).
圖1 圖2
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)在線段上是否存在點,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某大學(xué)進(jìn)行自主招生時,需要進(jìn)行邏輯思維和閱讀表達(dá)兩項能力的測試.學(xué)校對參加測試的200名學(xué)生的邏輯思維成績、閱讀表達(dá)成績以及這兩項的總成績進(jìn)行了排名.其中甲、乙、丙三位同學(xué)的排名情況如下圖所示:
得出下面四個結(jié)論:
①甲同學(xué)的邏輯排名比乙同學(xué)的邏輯排名更靠前
②乙同學(xué)的邏輯思維成績排名比他的閱讀表達(dá)成績排名更靠前
③甲、乙、丙三位同學(xué)的邏輯思維成績排名中,甲同學(xué)更靠前
④甲同學(xué)的閱讀表達(dá)成績排名比他的邏輯思維成績排名更靠前
則所有正確結(jié)論的序號是_________.
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【題目】已知集合是集合 的一個含有個元素的子集.
(Ⅰ)當(dāng)時,
設(shè)
(i)寫出方程的解;
(ii)若方程至少有三組不同的解,寫出的所有可能取值.
(Ⅱ)證明:對任意一個,存在正整數(shù)使得方程 至少有三組不同的解.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,中心在原點的橢圓C的上焦點為,離心率等于.
求橢圓C的方程;
設(shè)過且不垂直于坐標(biāo)軸的動直線l交橢圓C于A、B兩點,問:線段OF上是否存在一點D,使得以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形?作出判斷并證明.
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【題目】一個袋中有個大小之地都相同的小球,其中紅球個,白球個,黑球個,現(xiàn)從袋中有放回的取球,每次隨機(jī)取一個,連續(xù)取兩次.
(1)設(shè)表示先后兩次所取到的球,試寫出所有可能抽取結(jié)果;
(2)求連續(xù)兩次都取到白球的概率;
(3)若取到紅球記分,取到白球記分,取到黑球記分,求連續(xù)兩次球所得總分?jǐn)?shù)大于分的概率.
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【題目】某出租車公司購買了140輛純電動汽車作為運營車輛,目前我國純電動汽車按續(xù)航里程數(shù)R(單位:千米)分為3類,即A類:,B類:,C類:.該公司對這140輛車的行駛總里程進(jìn)行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:
類型 | A類 | B類 | C類 |
已行駛總里程不超過10萬千米的車輛數(shù) | 10 | 40 | 30 |
已行駛總里程超過10萬千米的車輛數(shù) | 20 | 20 | 20 |
(1)從這140輛汽車中任取一輛,求該車行駛總里程超過10萬千米的概率;
(2)公司為了了解這些車的工作狀況,決定抽取14輛車進(jìn)行車況分析,按表中描述的六種情況進(jìn)行分層抽樣,設(shè)從C類車中抽取了n輛車.
①求n的值;
②如果從這n輛車中隨機(jī)選取兩輛車,求恰有一輛車行駛總里程超過10萬千米的概率.
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