Question

14．在直角坐標系中，已知A點在第一象限，B在第二象限，△AOB為等邊三角形，設∠AOC=θ，C（2，0）．
（1）求θ的范圍；
（2）用θ表示S_△BOC；
（3）當θ為何值時，S_△BOC最大？

Answer 1

分析 （1）由題意可得范圍$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜θ+\frac{π}{3}＜π}\end{array}\right.$，從而解得θ的范圍．
（2）由題意開設等邊三角形△AOB的邊長為a（a＞0），根據(jù)已知及三角形面積公式即可得解．
（3）由（2）及正弦函數(shù)的圖象和性質即可求得最值及此時的θ值．

解答 解：（1）∵A點在第一象限，B在第二象限，△AOB為等邊三角形，∠AOC=θ，
∴可得：$\left\{\begin{array}{l}{0＜θ＜\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{2}＜θ+\frac{π}{3}＜π}\end{array}\right.$，解得：$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$．
（2）∵由題意開設等邊三角形△AOB的邊長為a（a＞0），C（2，0）．
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•OB•sin∠BOC=$\frac{1}{2}×2×a×sin（θ+\frac{π}{3}）$=asin（$θ+\frac{π}{3}$）．（a＞0）
（3）由（2）可得：當$θ+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{π}{6}$時，S_△BOC^取最大值為a，（a＞0）．

點評 本題主要考查了三角形面積公式的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．