Question

8．定義：對(duì)于函數(shù)f（x），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x₀，滿足f（-x₀）=-f（x₀），則稱x₀為函數(shù)f（x）的“奇對(duì)稱點(diǎn)”．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=x²+2x-4的“奇對(duì)稱點(diǎn)”；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=ln（x+m）在[-1，1]上存在“奇對(duì)稱點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）存在“奇對(duì)稱點(diǎn)”，則根據(jù)定義可得f（-x₀）=-f（x₀），代入函數(shù)解析，構(gòu)造關(guān)于x₀的方程，解得可得答案；
（Ⅱ）若f（x）存在“奇對(duì)稱點(diǎn)”，則根據(jù)定義可得f（-x₀）=-f（x₀），代入函數(shù)解析，構(gòu)造不等式，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意有f（-x₀）=-f（x₀），
即（-x₀）²+2（-x₀）-4=-（x₀）²-2（x₀）+4，…（2分）
化簡得（x₀）²=4，
解得：x₀=±2，
∴函數(shù)f（x）=x²+2x-4的“奇對(duì)稱點(diǎn)”為±2．        …（4分）
（Ⅱ）依題意函數(shù)f（x）=ln（x+m）的定義域?yàn)椋?m，+∞），…（5分）
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=ln（x+m）在[-1，1]上存在“奇對(duì)稱點(diǎn)”，
等價(jià)于關(guān)于x的方程ln（-x+m）=-ln（x+m）在[-1，1]上有解，…（7分）
即m²=x²+1在[-1，1]上有解，…（8分）
又∵x²+1∈[1，2]，…（10分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-m＜-1\\ 1≤{m}^{2}≤2\end{array}\right.$．
解得：m∈（1，$\sqrt{2}$]，
實(shí)數(shù)m的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$]．    …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查與函數(shù)奇偶性有關(guān)的新定義，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．