Question

已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，且滿足2a₁+a₂=8，a₂a₆=4

a

2 3

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，由于2a₁+a₂=8，a₂a₆=4

a

2 3

．可得

2a1+a1q=8 a 2 1 q6=4(a1q2)2

，解得即可得出．
（2）利用指數(shù)運算與對數(shù)運算法則可得：b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n=

n(n+1)

2

．于是

1

bn

=2(

1

n

-

1

n+1

)．利用“裂項求和”即可得出數(shù)列{

1

bn

}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，
∵2a₁+a₂=8，a₂a₆=4

a

2 3

．
∴

2a1+a1q=8 a 2 1 q6=4(a1q2)2

，解得

a1=2 q=2

，
∴an=2n．
（2）b_n=log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n=log2(2×22×…×2n)=log22

n(n+1)

2

=

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項和S_n=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=2(1-

1

n+1

)
=

2n

n+1

．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、指數(shù)運算與對數(shù)運算法則、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．