Question

（如圖）正△ABC的邊長為3，D、E分別是BC邊上的三等分點，沿AD、AE折起，使B、C兩點重合于點P，則下列結論：
①AP⊥DE；
②AP與面PDE所成角的正弦值是

6

3

；
③P到平面ADE的距離為

6

3

；
④AP與底面ADE所成角的余弦值為

6

9

．
其中正確結論的序號為

 

（把你認為正確的序號都填上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：解三角形,空間位置關系與距離,簡易邏輯

分析：取DE的中點F，連接PF，從而可證DE⊥平面AFP，則AP⊥DE；故①正確；
②AP與面PDE所成角為∠APF，先用余弦定理求余弦，再求正弦；
③設P到平面ADE的距離為h，利用三角形面積公式求解；
④AP與底面ADE所成角的為∠PAF，利用余弦定理求余弦．

解答： 解：如圖，取DE的中點F，連接PF，
則由題意可得，AF⊥DE，PF⊥DE，
又∵AF∩PF=F，
∴DE⊥平面AFP，
∴AP⊥DE，故①正確；
②AP與面PDE所成角為∠APF，
其中PA=3，AF=

3 3

2

，PF=

3

2

；
∴cos∠APF=

AP2+PF2-AF2

2AP•PF

=

3

3

，
∴sin∠APF=

6

3

；故正確；
③設P到平面ADE的距離為h，
則

1

2

×3×

3

2

×

6

3

=

1

2

×

3 3

2

×h；
則h=

6

3

；故正確；
④AP與底面ADE所成角的為∠PAF，
∴cos∠PAF=

AP2+AF2-PF2

2•AP•AF

=

5 3

9

，故錯誤．
故答案為：①②③．

點評：本題考查了命題的真假性的判斷，同時考查了空間幾何體的位置關系及余弦定理的應用，屬于難題．