Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$，（e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=$\frac{x}{{{e^{2x}}}}$+m，若g（x）在點(diǎn)（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}}）}$）處的切線過(guò)點(diǎn)（1，3e），求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（-$\frac{1}{2}$），g（-$\frac{1}{2}$），得到關(guān)于m的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=（1-2x）e^-2x，…．…．…（2分）
由f'（x）=0解得$x=\frac{1}{2}$，
當(dāng)$x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；…．…．…（3分）
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．…．…．…（4分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（{-∞，\frac{1}{2}}）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，
∴函數(shù)的最大值為$f（{\frac{1}{2}}）=\frac{1}{2}{e^{-1}}$．…．…．…（6分）
（Ⅱ）g'（x）=（1-2x）e^-2x，
所以$g'（{-\frac{1}{2}}）=2e$為切線的斜率，…．…．…（8分）
又根據(jù)直線上兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率得：
$\frac{{g（{-\frac{1}{2}}）-3e}}{{-\frac{1}{2}-1}}=\frac{{-\frac{1}{2}e+m-3e}}{{-\frac{3}{2}}}=\frac{7e-2m}{3}$…．…．…（10分）
所以$2e=\frac{7e-2m}{3}$，所以$m=\frac{e}{2}$…．…．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及切線的斜率問(wèn)題，是一道中檔題．