Question

17．已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-2sinθ，曲線D的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=2．
（1）求曲線C和D的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)曲線C和D交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程．
（2）求出圓心到直線的距離d，利用弦長(zhǎng)公式即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ-2sinθ，即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程是：x²+y²=2x-2y，化為（x-1）²+（y+1）²=2；
曲線D的極坐標(biāo)方程為ρ（cosθ-2sinθ）=2，可得曲線D的直角坐標(biāo)方程是：x-2y-2=0．
（2）圓心為（1，-1）到直線x-2y-2=0的距離$d=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，園的半徑$r=\sqrt{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{2-（\frac{1}{\sqrt{5}}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程互化、點(diǎn)到直線的距離公式、直線與圓的相交弦長(zhǎng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．