【題目】在直角坐標(biāo)系中,設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,且,點(diǎn)在上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓和圓分別相切于,兩點(diǎn),當(dāng)面積取得最大值時(shí),求直線的方程.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ) 由,可得;由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),得,求出后可得橢圓的方程.
(Ⅱ)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后根據(jù)判別式為零可得,解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)為,再根據(jù)直線和圓相切得到,然后根據(jù)在直角三角形中求出,進(jìn)而得到,將代入后消去再用基本不等式可得當(dāng)三角形面積最大時(shí),于是可得,于是直線方程可求.
(Ⅰ)由,可得,①
由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),得,②
由①②得,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)由消去整理得(*),
由直線與橢圓相切得,
,
整理得,
故方程(*)化為,即,
解得,
設(shè),則,故,
因此.
又直線與圓相切,可得.
所以,
所以,
將式代入上式可得
,
由得,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最大值.
由,得,
所以直線的方程為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn).
(1)若直線的傾斜角為,求的值;
(2)設(shè)直線交直線于點(diǎn),證明:直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)若函數(shù)在上是增函數(shù),求正數(shù)的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為,,曲線在,兩點(diǎn)處的切線斜率分別為,,求證:+ .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)已知射線與曲線交于兩點(diǎn),射線與直線交于點(diǎn),若的面積為1,求的值和弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高中年級(jí)開設(shè)了豐富多彩的校本課程,甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的學(xué)分,用莖葉圖表示.,分別表示甲、乙兩班各自5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差,則_______.(填“”“<”或“=”)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“克拉茨猜想”又稱“猜想”,是德國(guó)數(shù)學(xué)家洛薩克拉茨在1950年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)上公布的一個(gè)猜想:任給一個(gè)正整數(shù),如果是偶數(shù),就將它減半;如果為奇數(shù)就將它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算,經(jīng)過(guò)有限步后,最終都能夠得到1.己知正整數(shù)經(jīng)過(guò)6次運(yùn)算后得到1,則的值為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,且曲線與恰有一個(gè)公共點(diǎn).
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)已知曲線上兩點(diǎn),滿足,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從分別寫有數(shù)字1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得的第一張卡片上的數(shù)字不大于第二張卡片的概率是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,焦距為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若一直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)(、不是橢圓的頂點(diǎn)),以為直徑的圓過(guò)橢圓的上頂點(diǎn),求證:直線過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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