Question

18．是否存在三角形滿足以下兩個性質(zhì)：
（1）三邊是連續(xù)的三個自然數(shù)；
（2）最大角是最小角的2倍．若存在，求出該三角形；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，求得n=5，從而得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)三角形三邊是連續(xù)的三個自然n-1，n，n+1，三個角分別為α，π-3α，2α，
由正弦定理可得 $\frac{n-1}{sinα}$=$\frac{n+1}{sin2α}$，
∴cosα=$\frac{n+1}{2（n-1）}$．
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•$\frac{n+1}{2（n-1）}$，
化簡可得n²-5n=0，∴n=5． 此時，三角形的三邊分別為：4，5，6，可以檢驗最大角是最小角的2倍．
綜上，存在一個三角形三邊長分別為 4，5，6，且最大角是最小角的2倍．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理的應用，求得n²-5n=0，是解題的難點，屬于中檔題．