Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（x＞0，A＞0）的圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（3）設(shè)不相等的實數(shù)，x₁，x₂∈（0，π），且f（x₁）=f（x₂）=-2，求x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的最值得到A，再由函數(shù)的周期為2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=π，結(jié)合周期公式得到ω的值，再根據(jù)函數(shù)的最大值對應(yīng)的x值，代入并解之得φ，從而得到函數(shù)的表達式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）由題意可得2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），又f（x）=-2，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，進而解得符合條件的不相等的2個實數(shù)解，即可得解．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象可得A=4，
又∵函數(shù)的周期T=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω═$\frac{2π}{T}$=2，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過點P（$\frac{π}{12}$，4），即：4sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=4，
∴利用五點作圖法可得：2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得：φ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)的表達式為：$f（x）=4sin（{2x+\frac{π}{3}}）$；
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：$[{kπ-\frac{5π}{12}，\frac{π}{12}+kπ，k∈Z}]$；
（3）∵x∈（0，π），
∴2x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
又∵f（x）=-2，可得：sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$或$\frac{11π}{6}$，解得：x=$\frac{5π}{12}$或$\frac{3π}{4}$，
∴x₁+x₂=$\frac{7π}{6}$．

點評 本題給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象，要我們確定其解析式并根據(jù)解析式，著重考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的知識，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在解題中運用，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．屬于中檔題．