Question

5．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2，PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)在棱PD上，則當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時，點(diǎn)B到平面AEF的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 證明AE⊥平面PAD．當(dāng)AF⊥PD時，線段AF長度最小，EF與平面PAD所成角最大，利用V_C-AEF=V_F-ADC，求出點(diǎn)B到平面AEF的距離．

解答 解：如圖，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AE，
∵底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，E為BC中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，
∵BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∵PA∩AE=A，
∴AE⊥平面PAD．
當(dāng)AF⊥PD時，線段AF長度最小，EF與平面PAD所成角最大．
∵AB=2，∴AE=$\sqrt{3}$，
∵PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AF=1．
在Rt△ADF中，可得F到平面ACD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B到平面AEF的距離等于C到平面AEF的距離h，
∴V_C-AEF=V_F-ADC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查點(diǎn)到平面距離的計算，考查三棱錐體積的公式的運(yùn)用，屬于中檔題．