Question

6．設(shè)函數(shù)f（t）=t²-t+2．
（1）當(dāng)t∈R時(shí)，求f（t）的值域．
（2）當(dāng)t∈[-1，2]時(shí)，求f（t）的值域．
（3）令t=sinx，求f（sinx）的值域．

Answer 1

分析 （1）本題是已知函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R的二次函數(shù)的值域問題的求解，基本方法是配方法，顯然f（t）=t²-t+2=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，因此能很容易地解得函數(shù)的值域．
（2）先求出函數(shù)的對(duì)稱軸，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值和最小值即可求出值域．
（3）先求f（sinx）的解析式，再利用，二次函數(shù)的性質(zhì)，正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)即可求得答案．

解答 解：（1）對(duì)函數(shù)式進(jìn)行配方得到：f（t）=t²-t+2=t²-t+$\frac{1}{4}$+$\frac{7}{4}$=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
由于函數(shù)的定義域是R，于是可得當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)的最小值為$\frac{7}{4}$，
從而函數(shù)的值域?yàn)椋篬$\frac{7}{4}$，+∞）．
（2）由：f（t）=t²-t+2=（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
得：f（t）的對(duì)稱軸是t=$\frac{1}{2}$，
∴函數(shù)在[-1，$\frac{1}{2}$]遞減，在[$\frac{1}{2}$，2]遞增，
∴f（t）_最小值=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，f（t）_最大值=f（2）=4，
∴函數(shù)的值域是[$\frac{7}{4}$，4]．
（3）∵由t=sinx，可得：f（sinx）=（sinx-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$，
∴當(dāng)sinx=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（sinx）_min=$\frac{7}{4}$，
當(dāng)sinx=-1時(shí)，f（sinx）_max=4，
∴函數(shù)的值域是[$\frac{7}{4}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的值域的求法，方法是配方法，配方法是高考考查的重點(diǎn)方法，學(xué)生要做到很熟練的對(duì)二次式進(jìn)行配方，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，利用二次函數(shù)的配方法解決是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．