Question

9．已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，8a_n+1=a_n²+k，其中k∈N^*．
（1）當(dāng)k=12時(shí)，求證：1≤a_n＜a_n+1＜2
（2）對(duì)于任意n∈N^*，求使a_n＜4恒成立的k的最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=12時(shí)，a₁=1，8a_n+1=a_n²+12，a₂=$\frac{13}{8}$，a_n+1＞0．利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．
（2）由于a_n+1-a_n=$\frac{1}{8}（{a}_{n}-4）^{2}$+$\frac{k-16}{8}$≥$\frac{k-16}{8}$，可得a_n≥a₁+$（n-1）×\frac{k-16}{8}$=1+$\frac{k-16}{8}（n-1）$，
對(duì)k分類討論：當(dāng)k＞16時(shí)，不滿足a_n＜4對(duì)于任意n∈N^*恒成立．當(dāng)k≤16時(shí)，a_n＜4對(duì)?n∈N^*有可能成立．
對(duì)k=16，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得出．

解答 （1）證明：①當(dāng)k=12時(shí)，a₁=1，8a_n+1=a_n²+12，
∴a₂=$\frac{13}{8}$，a_n+1＞0．
因此當(dāng)n=1時(shí)，1≤a₁＜a₂＜2．
②假設(shè)當(dāng)n=m∈N^*時(shí)，1≤a_m＜a_m+1＜2．
當(dāng)n=m+1時(shí)，有$8{a}_{m+2}=12+{a}_{m+1}^{2}$＜12+2²=16，
∴a_m+2＜2成立．
由假設(shè)${a}_{m}^{2}$＜${a}_{m+1}^{2}$，∴8（a_m+2-a_m+1）=${a}_{m+1}^{2}-{a}_{m}^{2}$＞0，
∴a_m+2＞a_m+1≥a_m≥1，
∴2＞a_m+2＞a_m+1≥a_m≥1，
故由①②可知：對(duì)?n∈N^*，都有2＞a_n+1＞a_n≥1．
（2）由于a_n+1-a_n=$\frac{k}{8}$+$\frac{1}{8}$$（{a}_{n}^{2}-8{a}_{n}）$=$\frac{1}{8}（{a}_{n}-4）^{2}$+$\frac{k-16}{8}$≥$\frac{k-16}{8}$，
∴a_n≥a₁+$（n-1）×\frac{k-16}{8}$=1+$\frac{k-16}{8}（n-1）$，
①當(dāng)k＞16時(shí)，不滿足a_n＜4對(duì)于任意n∈N^*恒成立．
②當(dāng)k≤16時(shí)，a_n＜4對(duì)?n∈N^*有可能成立．
當(dāng)k=16時(shí)，a₁=1＜4成立；
假設(shè)?m∈N^*，a_m＜4，由8a_m+1=$16+{a}_{m}^{2}$＜16+4²，
∴a_m+1＜4．
對(duì)于k=16，?n∈N^*，都有a_n＜4．
因此對(duì)于任意n∈N^*，使a_n＜4恒成立的k的最大值為16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了分類討論思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．