Question

3．給出下列四個命題：
①圓（x+2）²+y²=4與圓（x-2）²+（y-1）²=9相交；
②總體的概率密度函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，x∈R的圖象關(guān)于直線x=3對稱；f（x）的最大值為$\frac{1}{\sqrt{2π}}$．
③已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項和，若S₇＞S₅，則S₉＞S₃；
④若函數(shù)y=f（x-$\frac{3}{2}$）為R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點F（$\frac{3}{2}$，0）成中心對稱．
其中所有正確命題的序號為①②③．

Answer 1

分析 求出圓心距，并判斷與半徑和與半徑差的關(guān)系，可判斷①；分析函數(shù)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，x∈R的圖象和性質(zhì)，可判斷②；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可說明③正確；直接由函數(shù)圖象的平移說明④錯誤．

解答 解：圓（x+2）²+y²=4與圓（x-2）²+（y-1）²=9的半徑分別為2，3，
故半徑和為5，半徑差為1，
圓（x+2）²+y²=4與圓（x-2）²+（y-1）²=9的圓心距d=$\sqrt{（2+2）^{2}+1}$=$\sqrt{17}$∈[1，5]，
故圓（x+2）²+y²=4與圓（x-2）²+（y-1）²=9相交，故①正確；
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}$e${\;}^{-\frac{（x-3）^{2}}{2}}$，f（6-x）=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（6-x-3）}^{2}}{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（3-x）}^{2}}{2}}}$=$\frac{1}{\sqrt{2π}}{e}^{{\;}^{-\frac{{（x-3）}^{2}}{2}}}$=f（x），故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對稱；
由${\;}^{-\frac{{（x-3）}^{2}}{2}}$的最大值為0，故x=3時，f（x）的最大值為$\frac{1}{\sqrt{2π}}$．故②正確；
等差數(shù)列{a_n}若S₇＞S₅，則2a₁+11d＞0，則S₉-S₃=6a₁+33d＞0，即S₉＞S₃，命題③正確；
對于④，函數(shù)y=f（x-$\frac{3}{2}$）為R上的奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于（0，0）中心對稱，
而函數(shù)y=f（x）的圖象是把y=f（x-$\frac{3}{2}$）的圖象向左平移$\frac{3}{2}$個單位得到的，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象一定關(guān)于點F（-$\frac{3}{2}$，0）成中心對稱．命題④錯誤．
故正確命題的序號為：①②③
故答案為：①②③．

點評 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了圓的位置關(guān)系，函數(shù)圖象和性質(zhì)，等差數(shù)列，考查了函數(shù)圖象的平移，是中檔題．