Question

16．若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與直線y=x無公共點(diǎn)，則離心率e的取值范圍（　　）

• A． （1，2]
• B． （1，2）
• C． $（1，\sqrt{2}]$
• D． （1，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線與y=x無公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為雙曲線的漸近線和y=x的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$與直線y=x無公共點(diǎn)，
∴等價(jià)為雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x的斜率$\frac{a}$≤1，即b≤a，
即b²≤a²，即c²-a²≤a²，
即c²≤2a²，
則c≤$\sqrt{2}$a，
則e≤$\sqrt{2}$，
∵e＞1，
∴離心率滿足1＜e≤$\sqrt{2}$，
即雙曲線離心率的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的取值范圍，根據(jù)雙曲線與y=x無交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為漸近線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．