Question

2．已知圓F₁：（x+1）²+y²=16及點F₂（1，0），在圓F₁任取一點M，連接MF₂并延長交圓F₁于點N，連接F₁N，過F₂作F₂P∥MF₁交NF₁于P，如圖所示．若從F₂點引一條直線l交軌跡P于A，B兩點，變化直線l （l的斜率一直存在），則$\frac{1}{{|F}_{2}A|}$+$\frac{1}{|{F}_{2}B|}$的值（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• D． $\sqrt{3}+1$

Answer 1

分析 由題意可得$\frac{P{F}_{2}}{M{F}_{1}}=\frac{PN}{{F}_{1}N}$，得$\frac{P{F}_{2}}{4}=\frac{4-P{F}_{1}}{4}$，即PF₁+PF₂=4＞F₁F₂=2，由此說明點P的軌跡為橢圓，求出橢圓方程，在設l_AB為：y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關系求得答案．

解答 解：∵F₂P∥MF₁，∴$\frac{P{F}_{2}}{M{F}_{1}}=\frac{PN}{{F}_{1}N}$，得$\frac{P{F}_{2}}{4}=\frac{4-P{F}_{1}}{4}$，則PF₁+PF₂=4＞F₁F₂=2，
∴點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點，長軸長2a=4的橢圓，其軌跡方程為$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{3}$=1．
設l_AB為：y=k（x-1），聯(lián)立$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，可得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
不妨設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （x₂＜1＜x₁），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴$\frac{1}{|{F}_{2}A|}+\frac{1}{|{F}_{2}B|}=\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{1}-1|}+\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}|{x}_{2}-1|}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}（\frac{1}{{x}_{1}-1}+\frac{1}{1-{x}_{2}}）=\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}-1}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{{x}_{1}+{x}_{2}-{x}_{1}{x}_{2}-1}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{\sqrt{（\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}）^{2}-4•\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}}{\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-1}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}•\frac{\frac{12\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}}{\frac{9}{3+4{k}^{2}}}$
=$\frac{12}{9}$=$\frac{4}{3}$．綜上可知，變化直線l，則$\frac{1}{|F2A|}$+$\frac{1}{|F2B|}$為定值$\frac{4}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質，訓練了直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．