Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

3

，a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n，S_n表示數(shù)列{a_n}前n項之和．
（1）求證：S_n＜1；
（2）當(dāng)n≥M時，n²•a_n＜1恒成立，求M的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意，首先判斷數(shù)列{a_n}的任何一項都不為0，再化簡a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n為

1

an+1

-1=2（

1

an

-1），從而可得{

1

an

-1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，從而求a_n=

1

2n+1

，再由放縮法證明S_n＜1；
（2）由指數(shù)函數(shù)y=2^x與冪函數(shù)y=x²的圖象可知，當(dāng)x＞4時，2^x＞x²，只需驗證前四項即可，從而求出M的最小值．

解答： 解：（1）證明：∵a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n，
∴a_n+1（2-a_n）=a_n，
又∵a₁=

1

3

，∴a_n≠0；
則由a_n+1•a_n=2a_n+1-a_n可得，
1=2

1

an

-

1

an+1

，
故

1

an+1

-1=2（

1

an

-1），又∵

1

a1

-1=2，
∴{

1

an

-1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴

1

an

-1=2ⁿ，
∴a_n=

1

2n+1

，
則S_n=

1

3

+

1

5

+

1

9

+…+

1

2n+1

＜

1

2

+

1

4

+

1

8

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1；
（2）由指數(shù)函數(shù)y=2^x與冪函數(shù)y=x²的圖象可知，
當(dāng)x＞4時，2^x＞x²，
n²•a_n=

n2

2n+1

，
又∵當(dāng)n=1時，

n2

2n+1

=

1

3

，成立；
當(dāng)n=2時，

n2

2n+1

=

4

5

，成立；
當(dāng)n=3時，

n2

2n+1

=1，不成立；
當(dāng)n=4時，

n2

2n+1

=

16

17

，成立；
故若使當(dāng)n≥M時，n²•a_n＜1恒成立，
則M≥4，故M的最小值為4．

點評：本題考查了學(xué)生對指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)增長性的認(rèn)識，同時考查了數(shù)列的通項公式即前n項和公式的應(yīng)用，同時考查了放縮法證明不等式，屬于基礎(chǔ)題．