Question

已知雙曲線

x2

4

-y²=1，求過點(diǎn)A（3，-1）且被點(diǎn)A平分的弦MN所在直線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：假設(shè)存在，兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法求得直線的斜率，進(jìn)一步求出直線方程，然后聯(lián)立直線與曲線方程進(jìn)行檢驗(yàn)．

解答： 解：假設(shè)存在，兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
所以

x 2 1

4

-

y

2 1

=1，

x 2 2

4

-

y

2 2

=1，兩式相減得

(x1+x2)(x1-x2)

4

=（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又

x1+x2

2

=3，

y1+y2

2

=-1，∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，
所以直線的方程為y+1=-

3

4

（x-3），即3x+4y-5=0．
由

3x+4y-5=0 x2 4 -y2=1

得：5x²-30x+41=0，
∴△=30²-20×41＞0，
∴直線3x+4y-5=0與雙曲線

x2

4

-y²=1有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴MN所在直線的方程是3x+4y-5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想、方程的數(shù)學(xué)思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決較為復(fù)雜的綜合題．