Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，a₁=2，則數(shù)列{a_n}的前2015項的積等于3．

Answer 1

分析 通過計算出數(shù)列前幾項的值，判斷該數(shù)列為周期數(shù)列，進而可得結(jié)論．

解答 解：∵${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$且a₁=2，
∴a₂=$\frac{1+{a}_{1}}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，
a₃=$\frac{1+{a}_{2}}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1-3}{1+3}$=-$\frac{1}{2}$，
a₄=$\frac{1+{a}_{3}}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，
a₅=$\frac{1+{a}_{4}}{1-{a}_{4}}$=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2，
不難發(fā)現(xiàn)數(shù)列{a_n}是周期數(shù)列，
四個為一周期且最前四個乘積為$2×（-3）×（-\frac{1}{2}）×\frac{1}{3}$=1，
∵2015=503×4+3，
∴數(shù)列{a_n}前2015項的積為：${1}^{503}×2×（-3）×（-\frac{1}{2}）$=3，
故答案為：3．

點評 本題考查求數(shù)列的前n項的乘積，找出其周期是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．