Question

6．如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，CE為圓O的直徑，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面．
（1）求證：CD⊥平面AED；
（2）設(shè)異面直線CB與DE所成的角為$\frac{π}{6}$且AE=1，將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體，求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明CD⊥ED，CD⊥AE，然后證明CD⊥平面AED．
（2）所求問題實際是將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體的體積是兩圓錐的體積之差．求解即可．

解答 解：（1）證明：因為CE為圓O的直徑，所以$∠CDE=\frac{π}{2}$，即CD⊥ED…2分
又因為AE垂直于圓面，CD⊥AE所在平面，所以CD⊥AE…4分
又CD⊥ED，所以CD⊥平面AED…5分
（2）由題意知，將△ACD（及其內(nèi)部）繞AE所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一幾何體的體積是兩圓錐的體積之差．
因為異面直線CB與DE所成角為$\frac{π}{6}$，且CB∥DA，所以$∠ADE=\frac{π}{6}$，…7分
又因為AE=1，所以，在Rt△AED中，$DE=\sqrt{3}$，DA=2…9分
在Rt△CDE中，CD=DA=2，$DE=\sqrt{3}$，所以$CE=\sqrt{7}$…10分
所以該幾何體的體積$V=\frac{1}{3}π•C{E^2}•AE-\frac{1}{3}π•D{E^2}•AE=\frac{4}{3}π$…12分．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面垂直的判斷，考查邏輯推理能力以及計算能力．