Question

12．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=3a_n-λ（λ為常數(shù)）．
（1）求λ的值及數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系即可得出；
（2）利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{2}$，S_n=3a_n-λ（λ為常數(shù)）．∴a₁=3a₁-λ，∴$\frac{1}{2}=3×\frac{1}{2}-λ$，解得λ=1．
∴S_n=3a_n-1，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3a_n-1-（3a_n-1-1），化為：${a}_{n}=\frac{3}{2}{a}_{n-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{3}{2}$，首項為$\frac{1}{2}$．
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-1}$．
（2）b_n=$\frac{n+1}{{a}_{n}}$=2（n+1）$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2$[2+3×\frac{2}{3}+4×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+$（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n-1}]$，
$\frac{2}{3}{T}_{n}$=2$[2×\frac{2}{3}+3×（\frac{2}{3}）^{2}+…+n×（\frac{2}{3}）^{n-1}+（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$，
∴$\frac{1}{3}{T}_{n}$=2$[2+\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+$…+$（\frac{2}{3}）^{n-1}-（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$=2$[1+\frac{1-（\frac{2}{3}）^{n}}{1-\frac{2}{3}}-（n+1）×（\frac{2}{3}）^{n}]$=8-2（n+4）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
解得T_n=24-6（n+4）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．