Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和${S_n}=2{n^2}-n$，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若${b_n}={（{-1}）^n}{a_n}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由數(shù)列的求和公式，通過當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1，驗證n=1時，數(shù)列的通項公式是否滿足所求結(jié)果，即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求出b_n，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，分別求出數(shù)列的和即可．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由${S_n}=2{n^2}-n$，
當(dāng)n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=2{n^2}-n-[{2{{（{n-1}）}^2}-（{n-1}）}]=4n-3$．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=1，而4×1-3=1，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=4n-3，n∈N^*．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得${b_n}={（-1）^n}{a_n}={（-1）^n}（{4n-3}）$，
當(dāng)n為偶數(shù)時，${T_n}=-1+5-9+13-17+…+（{4n-3}）=4×\frac{n}{2}=2n$，
當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，T_n=T_n+1-b_n+1=2（n+1）-（4n+1）=-2n+1．
綜上，${T_n}=\left\{\begin{array}{l}2n，n為偶數(shù)\\-2n+1，n為奇數(shù).\end{array}\right.$      …（13分）

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，分類討論思想的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力．