Question

10．S_n為數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N^*，都有S_n=2a_n-1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n，求使得|T_n-2|＜$\frac{1}{500}$成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1，當n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．利用等比數列的前n項和公式可得：數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n=$2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$．代入不等式|T_n-2|＜$\frac{1}{500}$，化簡即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-1，∴當n=1時，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），
化為a_n=2a_n-1．
∴數列{a_n}是等比數列，公比為2，首項為1．
∴a_n=2^n-1．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和為T_n=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=$2-\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
∴不等式|T_n-2|＜$\frac{1}{500}$，化為：$\frac{1}{{2}^{n-1}}$$＜\frac{1}{500}$，即2ⁿ＞1000．
∴n≥10．
∴使得|T_n-2|＜$\frac{1}{500}$成立的n的最小值是10．

點評 本題考查了等比數列的通項公式及其前n項和公式、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．