Question

7．若已知x，y滿足x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的取值范圍；
（2）x²+y²的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設$\frac{y}{x}$=k，進而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，確定出k的范圍，即為所求$\frac{y}{x}$的范圍．
（2）x²+y²表示（x，y）與（0，0）的距離的平方，即可求出x²+y²的取值范圍．

解答 解：（1）設$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，
由圓方程x²+y²-4x+1=0
∴（x-2）²+y²=3得到圓心坐標為（2，0），半徑r=$\sqrt{3}$，
當直線與圓相切時，圓心到切線的距離d=r，即$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
解得：k=±$\sqrt{3}$，
則$\frac{y}{x}$的取值范圍是[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．
（2）x²+y²表示（x，y）與（0，0）的距離的平方，
圓心到原點的距離為2，半徑r=$\sqrt{3}$，∴x²+y²的取值范圍[（2-$\sqrt{3}$）²，（2+$\sqrt{3}$）²]，即[7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線與圓相切時滿足的條件，利用了轉化的思想，求出直線與圓相切時斜率的值是解本題的關鍵．