Question

2．已知a₁=3，a_n+1=a_n²-2，求a_n的通項公式．

Answer 1

分析 通過令a_n=t_n+$\frac{1}{{t}_{n}}$，利用a₁=t₁+$\frac{1}{{t}_{1}}$=3可知t₁=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，利用a_n+1=a_n²-2整理得（t_n+1-${{t}_{n}}^{2}$）（1-$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}{t}_{n+1}}$）=0，分t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$、t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$兩種情況、利用對數(shù)有關(guān)知識討論即得結(jié)論．

解答 解：令a_n=t_n+$\frac{1}{{t}_{n}}$，則t_n+1+$\frac{1}{{t}_{n+1}}$=${{t}_{n}}^{2}$+$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$，
整理得：（t_n+1-${{t}_{n}}^{2}$）（1-$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}{t}_{n+1}}$）=0，
∴t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$或t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$，
又∵a₁=t₁+$\frac{1}{{t}_{1}}$=3，
∴t₁=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
當t_n+1=${{t}_{n}}^{2}$時，即lgt_n+1=2lgt_n，
∴l(xiāng)gt_n=2^n-1lgt₁，即t_n=${{t}_{1}}^{{2}^{n-1}}$=$（\frac{3±\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$；
同理可知當t_n+1=$\frac{1}{{{t}_{n}}^{2}}$時，a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$；
綜上所述，a_n=$（\frac{3-\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$+$（\frac{3+\sqrt{5}}{2}）^{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題．