Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（ωx+\frac{π}{2}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$（ω＞0）的周期為π．
（1）求ω．
（2）若將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后，再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）表達式．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和差的正弦公式，結(jié)合輔助角公式進行化簡，根據(jù)周期的定義即可求出ω的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，進行化簡求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}sinωxsin（ωx+\frac{π}{2}）-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（cos2ωx+1）+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π，
解得ω=1，
（2）由（1）可知f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位后得到y(tǒng)=sin=[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）
再將得到的圖象上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，y=g（x）=sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{6}$）

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用兩角和差的正弦公式結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．