Question

【題目】如圖，在直棱柱中，，，，分別是棱，上的點(diǎn)，且平面．

（1）證明：；

（2）若為中點(diǎn)，求直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

解法1：（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用空間向量共線(xiàn)的定義求解即可；

（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

解法2：（1）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合平行線(xiàn)公理進(jìn)行證明即可；

（2）延長(zhǎng)到，使，連接，．利用平行四邊形有判定定理、平行四邊形的性質(zhì)可以證明出．所以 直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角．利用余弦定理進(jìn)行求解即可.

解法1：（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，，則，，，，，．

所以，，所以，與共線(xiàn)．

因?yàn)?/span>平面，所以．

（2）因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，故，于是，．

所以，

因此直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為．

解法2：（1）因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，所以．

在直棱柱中，，所以．

（2）延長(zhǎng)到，使，連接，．則，，

四邊形是平行四邊形，所以．故 直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角．

設(shè)，則，．因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，故．

因?yàn)?/span>，所以，因此．

在中，．所以直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為．