Question

5．設(shè)雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點(diǎn)為A，P為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），若從點(diǎn)A引雙曲線的兩條漸近線的平行線，與直線OP分別交于Q、R兩點(diǎn)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OP|²與|OQ|•|OR|的大小關(guān)系為|OP|²=|OQ|•|OR|．（填“＞”，“＜”或“=”）

Answer 1

分析 先求出A的坐標(biāo)和漸近線方程，設(shè)OP的方程為y=kx，AR的方程為y=$\frac{a}$（x-a），求得$\overrightarrow{OR}$、$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)，計(jì)算|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|的值，把雙曲線方程與直線OP方程聯(lián)立解得|$\overrightarrow{OP}$|²，比較可得結(jié)論．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右頂點(diǎn)為A（a，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)OP的方程為y=kx，AR的方程為y=$\frac{a}$（x-a），
解得$\overrightarrow{OR}$=（-$\frac{ab}{ak-b}$，-$\frac{kab}{ak-b}$），
同理可得$\overrightarrow{OQ}$=（$\frac{ab}{ak+b}$，$\frac{kab}{ak+b}$）．
∴|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|=|$\frac{ab}{ak+b}$•（-$\frac{ab}{ak-b}$）+$\frac{kab}{ak+b}$•（-$\frac{kab}{ak-b}$）|
=$\frac{{a}^{2}^{2}（1+{k}^{2}）}{|{a}^{2}{k}^{2}-^{2}|}$．
設(shè)$\overrightarrow{OP}$=（m，n），則由雙曲線方程與直線OP方程聯(lián)立解得：m²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，n²=$\frac{{k}^{2}{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴|$\overrightarrow{OP}$|²=m²+n²=$\frac{（1+{k}^{2}）{a}^{2}^{2}}{^{2}-{a}^{2}{k}^{2}}$，
∵點(diǎn)P在雙曲線上，∴b²-a²k²＞0，
無論點(diǎn)P在什么位置，總有|$\overrightarrow{OP}$|²=|$\overrightarrow{OQ}$•$\overrightarrow{OR}$|═|$\overrightarrow{OQ}$|•|$\overrightarrow{OR}$|．
即為|OP|²=|OQ|•|OR|．
故答案為：=．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，式子的變形、化簡是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．