Question

16．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=a•lnx+x²-4x．
（Ⅰ）令a=-6，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在x=1處取極值？證明你的結(jié)論；
（Ⅲ）若存在區(qū)間[2，3]⊆D，使得函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令a=-6，利用導數(shù)的正負求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）利用f′（1）=a-2=0，求出a，再進行驗證即可；
（Ⅲ）若存在區(qū)間[2，3]⊆D，使得函數(shù)f（x）在D上單調(diào)遞增，f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4≥0在[2，3]上恒成立，分離參數(shù)求最大值，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）令a=-6，f（x）=-6lnx+x²-4x，
∴f′（x）=-$\frac{6}{x}$+2x-4=$\frac{2（x-3）（x+1）}{x}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，3）；
（Ⅱ）f（x）=a•lnx+x²-4x，則f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4，
由f′（1）=a-2=0，可得a=2，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$≥0，∴不存在實數(shù)a，使得f（x）在x=1處取極值；
（Ⅲ）f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4≥0在[2，3]上恒成立，
∴a≥4x-2x²
令y=4x-2x²=-2（x-1）²+2，則y∈[-6，0]，
∴a≥0．

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．