Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+2n；數(shù)列{b_n}是公比大于1的等比數(shù)列，且滿足b₁+b₄=9，b₂b₃=8．
（Ⅰ）分別求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=n²+2n，可得當n=1時，a₁=S₁=3；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1．即可得出a_n．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比q＞1，由b₁+b₄=9，b₂b₃=8．可得$_{1}（1+{q}^{3}）$=9，$_{1}^{2}$q³=8，q＞1．聯(lián)立解得即可得出．
（II）c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（n²+2n）+（2n+1）•2^n-1．設(shè)數(shù)列{（-1）ⁿS_n}，{a_nb_n}的前n項和分別為：A_n，B_n．利用“分組求和”與“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=n²+2n，∴當n=1時，a₁=S₁=3；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1．當n=1時也成立，∴a_n=2n+1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比q＞1，∵b₁+b₄=9，b₂b₃=8．
∴$_{1}（1+{q}^{3}）$=9，$_{1}^{2}$q³=8，q＞1．
聯(lián)立解得b₁=1，q=2．
∴b_n=2^n-1．
（II）c_n=（-1）ⁿS_n+a_nb_n=（-1）ⁿ（n²+2n）+（2n+1）•2^n-1．
設(shè)數(shù)列{（-1）ⁿS_n}，{a_nb_n}的前n項和分別為：A_n，B_n．
∵（-1）^2k-1S_2k-1+（-1）^2kS_2k=[（2k）²+2•2k]-[（2k-1）²+2（2k-1）]=4k+1，
則A_n=A_2k=4×（1+2+…+k）+k=4×$\frac{k（k+1）}{2}$+k=k（2k+3）=$\frac{n（n+3）}{2}$；
A_n=A_2k-1=A_n+1-[（n+1）²+2（n+1）]=$\frac{（n+1）（n+4）}{2}$-[（n+1）²+2（n+1）]=-$\frac{{n}^{2}+3n+2}{2}$．
B_n=3×1+5×2+7×2²+…+（2n+1）•2^n-1，
2B_n=3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-2+（2n+1）•2ⁿ，
∴-B_n=3+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n+1）•2ⁿ=$2×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+1-（2n+1）•2ⁿ=（1-2n）•2ⁿ-1，
∴B_n=（2n-1）•2ⁿ+1．
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n（n+3）}{2}+（2n-1）•{2}^{n}+1，n為偶數(shù)}\\{-\frac{（n+1）（n+2）}{2}+（2n-1）•{2}^{n}+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$

點評 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．