Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}中，2a₂+a₃+a₅=20，且前10項和S₁₀=100．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列$\{{a_n}•{2^{a_n}}\}$的前n項和．

Answer 1

分析 （I）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用已知條件，列出方程，即可求解數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）數(shù)列$\{{a_n}•{2^{a_n}}\}$的表達式，利用錯位相減法求解數(shù)列的前n項．

解答 解：（ I）設(shè)公差為d，由已知得$\left\{\begin{array}{l}2{a_2}+{a_3}+{a_5}{=4}{a_1}{+8}d{=20}\\ 10{a_1}{+}\frac{{{10}×{9}}}{2}d{=10}{a_1}{+45}d{=100}\end{array}\right.$，（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，（4分）
所以{a_n}的通項公式為a_n=5+2（n-3）=2n-1，（5分）
（ II）由（ I）可知${a_n}•{b_n}=（2n-1）×{2^{2n-1}}$，
所以${S_n}=1×{2^1}+3×{2^3}+5×{2^5}+…+（2n-3）×{2^{2n-3}}+（2n-1）×{2^{2n-1}}$，①$4{S_n}=1×{2^3}+3×{2^5}+5×{2^7}+…+（2n-3）×{2^{2n-1}}+（2n-1）×{2^{2n+1}}$，②（7分）
①-②得：$-3{S_n}=2+2×（{2^3}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}$，
∴${S_n}=\frac{{2+2×（{2^3}+{2^5}+…+{2^{2n-1}}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}}}{-3}$（9分）
=$\frac{{2+2×（\frac{{8（1-{4^{n-1}}）}}{1-4}）-（2n-1）×{2^{2n+1}}}}{-3}$
=$\frac{{-6+2×8（1-{4^{n-1}}）+（6n-3）×{2^{2n+1}}}}{9}$（11分）
=$\frac{{10+（6n-5）×{2^{2n+1}}}}{9}$（12分）

點評 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求解數(shù)列的和的方法，考查計算能力．