Question

在距A城50km的B地發(fā)現(xiàn)稀有金屬礦藏，現(xiàn)知由A至某方向有一條直鐵路AX，B到該鐵路的距離為30km，為在AB之間運(yùn)送物資，擬在鐵路AX上的某點(diǎn)C處筑一直公路通到B地．已知單位重量貨物的鐵路運(yùn)費(fèi)與運(yùn)輸距離成正比，比例系數(shù)為k₁（k₁為常數(shù)且k₁＞0）；單位重量貨物的公路運(yùn)費(fèi)與運(yùn)輸距離的平方成正比，比例系數(shù)為k₂（k₂為常數(shù)且k₂＞0）．設(shè)單位重量貨物的總運(yùn)費(fèi)為y元，AC之間的距離為xkm．
（1）將y表示成x的函數(shù)；
（2）若k₁=20k₂，則當(dāng)x為何值時(shí)，單位重量貨物的總運(yùn)費(fèi)最少．并求出最少運(yùn)費(fèi)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)AC段的運(yùn)費(fèi)為y₁，CB段的運(yùn)費(fèi)為y₂，然后求出兩個(gè)運(yùn)費(fèi)，即可求出y表示成x的函數(shù)；
（2）利用k₁=20k₂，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，即可求出x為何值時(shí)，單位重量貨物的總運(yùn)費(fèi)最少．

解答： （（10分），每小問5分）
解：（1）設(shè)AC段的運(yùn)費(fèi)為y₁，CB段的運(yùn)費(fèi)為y₂AD=

AB2-BD2

=

502-302

=40km，
CD=AD-AC=（40-x）kmBC=

BD2+CD2

=

302+(40-x)2

=

x2-80x+2500

km
所以

y1=k1x y2=k2(x2-80x+2500)

所以y=y1+y2=k2x2+(k1-80k2)x+2500k2
（2）∵k₁=20k₂
∴y=k2x2-60k2x+2500k2=k2(x-30)2+1600k2
所以當(dāng)x=30km時(shí)y取最小值，即y_min=y|_x=30=1600k₂

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，列出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，考查分析問題解決問題的能力．