Question

已知正實(shí)數(shù)a、b、c滿足

1

a

+

1

b

=1，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由于

1

a

+

1

b

=1，

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，可得

1

ab

+

1

c

=1，化為c=

ab

ab-1

．由于正實(shí)數(shù)a、b滿足

1

a

+

1

b

=1，利用基本不等式的性質(zhì)可得ab≥4．變形c=

ab-1+1

ab-1

=ab-1+

1

ab-1

+1，令ab-1=t≥3，則c=t+

1

t

+1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵

1

ab

+

1

bc

+

1

ca

=1，∴

1

ab

+

1

c

=1，化為c=

ab

ab-1

．
∵正實(shí)數(shù)a、b滿足

1

a

+

1

b

=1，∴1≥2

1 ab

，化為ab≥4．
則c=

ab-1+1

ab-1

=ab-1+

1

ab-1

+1，令ab-1=t≥3，
則c=t+

1

t

+1，
c′=1-

1

t2

=

t2-1

t2

＞0，
∴函數(shù)c（t）在[3，+∞）上單調(diào)遞增．
∴c≥3+

1

3

+1=

13

3

．
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍是[

13

3

，+∞)．
故答案為：[

13

3

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本不等式的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．