Question

14．某地A、B兩村在一直角坐標(biāo)系下的位置分別為A（1，2），B（4，0），一條河所在直線的方程為l：x+2y-10=0，若在河上建一座水站P，使分別到A、B兩鎮(zhèn)的管道之和最省，問(wèn)供水站P應(yīng)建在什么地方？

Answer 1

分析 根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式以及點(diǎn)的對(duì)稱性，建立方程組關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：過(guò)A作直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連A′B交l于P，
∵|AP′|+|P′B|=|A′P′|+|BP′|＞|A′B|，
∴P點(diǎn)即為所求．
設(shè)A′（a，b），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{2}+2•\frac{b+2}{2}-10=0}\\{\frac{b-2}{a-1}•（-\frac{1}{2}）=-1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=15}\\{b=2a}\end{array}\right.$，解得a=3，b=6，
即A′（3，6），
直線A′B的方程為$\frac{y-0}{6-0}=\frac{x-4}{3-4}$，即6x+y-24=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{6x+y-24=0}\\{x+2y-10=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{38}{11}$，y=$\frac{36}{11}$，
即P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），
故供水站P應(yīng)建在P（$\frac{38}{11}$，$\frac{36}{11}$），才能使管道最�。�

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線對(duì)稱性的應(yīng)用，以及直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．