Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{2}$，h（x）=$\sqrt{x}$．
（Ⅰ）若函數(shù)h（x）=$\sqrt{x}$圖象上一點(diǎn)A（4，h（4）），則求在A點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²，求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（Ⅲ）設(shè)a∈R，解關(guān)于x的方程lg[$\frac{3}{2}$f（x-1）-$\frac{3}{4}$]=2lgh（a-x）-2lgh（4-x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程；
（Ⅱ）首先求出F（x）的解析式，求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)大于0和小于0，分別求出單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間，從而可求極值．
（Ⅲ）將方程轉(zhuǎn)化為lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，利用對數(shù)的運(yùn)算法則，注意到真數(shù)大于0，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的不等式，分離參數(shù)a，求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)h（x）=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
在A點(diǎn)處的切線斜率為k=$\frac{1}{4}$，切點(diǎn)為（4，2），
即有在A點(diǎn)處的切線方程為y-2=$\frac{1}{4}$（x-4），
即為x-4y+4=0；
（Ⅱ）F（x）=18f（x）-x²[h（x）]²=-x³+12x+9（x≥0），
即有F′（x）=-3x²+12，
令F′（x）=0，得x=2（x=-2舍去）．
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)．F′（x）＞0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，
故當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，F(xiàn)（x）為增函數(shù)；當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，F(xiàn)（x）為減函數(shù)．
x=2為F（x）的極大值點(diǎn)，且F（2）=-8+24+9=25．
（Ⅲ）原方程變形為lg（x-1）+2lg$\sqrt{4-x}$=2lg$\sqrt{a-x}$，
?$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{4-x＞0}\\{a-x＞0}\\{（x-1）（4-x）=a-x}\end{array}\right.$?$\left\{\begin{array}{l}{1＜x＜4}\\{x＜a}\\{a=-（x-3）^{2}+5}\end{array}\right.$，
①當(dāng)1＜a≤4時(shí)，原方程有一解x=3-$\sqrt{5-a}$；
②當(dāng)4＜a＜5時(shí)，原方程有兩解x=3$±\sqrt{5-a}$；
③當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；
④當(dāng)a≤1或a＞5時(shí)，原方程無解．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、解方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法及推理運(yùn)算、分析問題、解決問題的能力．