Question

13．如圖，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC為等邊三角形．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面ADE；
（Ⅱ）求AE與平面CDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G，連接GD，GD，CF，由已知得CF⊥BF，CF⊥AB，從而DG⊥平面ABE，由此能證明平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）補(bǔ)全三棱柱AMN-BEC，取MN中點(diǎn)H，連結(jié)AH，EH，說明∠AEH就是AE與平面CDE所成角，然后求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G，
連接GD，GF，CF，
∵AB⊥平面BCE，△BCE是正三角形，
∴CF⊥BF，CF⊥AB，
∴CF⊥平面ABE，
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ADE．

（Ⅱ） 如圖，補(bǔ)全三棱柱AMN-BEC，取MN中點(diǎn)H，連結(jié)AH，EH，則△AMN為正三角形，
可得AH⊥MN，
又CD⊥平面AMN，則AH⊥CD，所以，AH⊥平面CDE，
則∠AEH就是AE與平面CDE所成角．
在△AEH中，AH⊥EH，AH=$2\sqrt{3}$，AE=$4\sqrt{2}$，sin∠AEH=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
AE與平面CDE所成角的正弦值：$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查平面與平面垂直的證明，直線與平面所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用．