Question

7．解關(guān)于x的不等式：（a-2）x²-2ax+a-1≥0．

Answer 1

分析 對(duì)a分類討論，利用判別式與不等式的解集的關(guān)系即可得出．

解答 解：當(dāng)a=2時(shí)，不等式化為：4x≤1，解得$x≤\frac{1}{4}$，∴不等式的解集為{x|$x≤\frac{1}{4}$}．
當(dāng)a≠2時(shí)，△=4a²-4（a-2）（a-1）=4（3a-2）．
當(dāng)a＞2時(shí)，△＞0，（a-2）x²-2ax+a-1=0，解得x=$\frac{a±\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴不等式化為（a-2）$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，即$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，解得x≥$\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}$或x≤$\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴此時(shí)不等式的解集為$\{x|x≥\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}或x≤\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
當(dāng)2＞a$＞\frac{2}{3}$時(shí)，△＞0，不等式化為（a-2）$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≥0，即$（x-\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}）$$（x-\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}）$≤0，解得$\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}$≤x≤$\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}$，∴此時(shí)不等式的解集為$\{x|\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}≤x≤\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，△=0，不等式化為（2x+1）²≤0，解得不等式的解集為$\{x|x=-\frac{1}{2}\}$．
當(dāng)a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，△＜0，不等式的解集為∅．
綜上可得：當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為{x|$x≤\frac{1}{4}$}．
當(dāng)a＞2時(shí)，不等式的解集為$\{x|x≥\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}或x≤\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
當(dāng)2＞a$＞\frac{2}{3}$時(shí)，此時(shí)不等式的解集為$\{x|\frac{a-\sqrt{3a-2}}{a-2}≤x≤\frac{a+\sqrt{3a-2}}{a-2}\}$．
當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，不等式的解集為$\{x|x=-\frac{1}{2}\}$．
當(dāng)a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，不等式的解集為∅．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．