Question

16．求函數y=x²在下列范圍內的值域：
（1）x∈[1，2]；
（2）x∈[-1，2]；
（3）x∈[-3，2]；
（4）x∈[a，2]．

Answer 1

分析 （1）可設y=f（x），顯然f（x）在[1，2]上單調遞增，從而值域在端點出取得；
（2）f（x）的對稱軸為x=0∈[-1，2]，從而比較f（-1），f（2）即可得出f（x）的值域；
（3）方法同（2）；
（4）討論a：a＜-2，-2≤a≤0，0＜a＜2，在這三種情況下可結合函數f（x）的圖象即可得出每種情況下的值域．

解答 解：（1）設y=f（x）；
f（x）在[1，2]上單調遞增；
∴f（x）在[1，2]上的值域為[f（1），f（2）]=[1，4]；
（2）x=0時，f（x）取最小值0，f（-1）=1，f（2）=4；
∴f（x）在[-1，2]上的值域為[0，4]；
（3）f（-3）=9，f（2）=4；
∴f（x）在[-3，2]上的值域為[0，9]；
（4）①若a＜-2，則：f（a）＞f（2）；
∴f（x）在[a，2]上的值域為[0，a²]；
②若-2≤a≤0，則f（a）≤f（2）；
∴f（x）在[a，2]上的值域為[0，4]；
③若0＜a＜a，則f（x）在[a，2]上單調遞增；
∴f（x）在[a，2]上的值域為[a²，4]．

點評 考查二次函數的對稱軸，及二次函數的單調性，根據單調性求函數的值域，要熟悉二次函數的圖象，能結合圖象求值域．