Question

19．E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的各邊中點．
（1）當(dāng)空間四邊形ABCD滿足條件AC=BD時，四邊形的形狀是菱形．
（2）若AC+BD=a，AC•BD=b，則EF²+FG²=$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)中位線定理可得四邊形EFGH為平行四邊形，故只需EF=FG即AC=BD即可得出四邊形EFGH為菱形；
（2）用AC，BD表示出EF，F(xiàn)G，利用完全平方公式即可得出答案．

解答 解：（1）由中位線定理得EF=HG=$\frac{1}{2}AC$，且EF∥HG，
同理可得：EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，且EH∥FG．
∴四邊形EFGH為平行四邊形．
∴當(dāng)AC=BD時，EF=EH，即四邊形EFGH為菱形．
（2）∵EF=$\frac{1}{2}AC$，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}BD$，
∴EF+FG=$\frac{1}{2}$（AC+BD）=$\frac{a}{2}$，EF•FG=$\frac{1}{2}AC•\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{4}b$，
∴EF²+FG²=（EF+FG）²-2EF•FG=$\frac{{a}^{2}}{4}-\frac{2}$=$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．
故答案為：AC=BD，$\frac{{a}^{2}-2b}{4}$．

點評 本題考查了空間直線的位置關(guān)系，完全平方公式，屬于基礎(chǔ)題．