Question

8．已知函數f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1．
（1）求f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域；
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，再沿x軸壓縮到原來的$\frac{1}{2}$倍，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）在x∈[-π，0]上的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的定義域和值域求得f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]上的值域．
（2）根據y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數的增區(qū)間，得出結論．

解答 解：（1）∵函數f（x）=4cosxsin（x+$\frac{π}{6}$）-1=4cosx（sinx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+cosx•$\frac{1}{2}$）-1
=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
因為x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，所以2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數f（x）取得最小值為2×（-$\frac{1}{2}$）=-1；
當2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為2×1=2，故函數f（x）的值域為[-1，2]．
（2）將函數f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，可得y=2sin[2（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x-$\frac{π}{6}$） 的圖象；
再沿x軸壓縮到原來的$\frac{1}{2}$倍，得到函數y=g（x）=2sin（4x-$\frac{π}{6}$） 的圖象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，
可得函數y=g（x）的單調遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再結合x∈[-π，0]，可得函數y=g（x）在x∈[-π，0]上的單調遞增區(qū)間為：
[-π，-$\frac{5π}{6}$]、[-$\frac{7π}{12}$，-$\frac{π}{3}$]、[-$\frac{π}{12}$，0]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的定義域和值域，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的增區(qū)間，屬于中檔題．