Question

20．已知曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$．設(shè)P為曲線C₁上的點，點Q的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），則PQ中點M到曲線C₂上的點的距離的最小值是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$把曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化為直角坐標(biāo)方程．由于P為曲線C₁上的點，可設(shè)P點$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），點Q的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化為直角坐標(biāo)Q（-4，4）．可得PQ中點M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$），再利用點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
曲線C₂的極坐標(biāo)方程ρ=$\frac{7}{cosθ-2sinθ}$，化為x-2y-7=0．
∵P為曲線C₁上的點，可設(shè)P點$\left\{\begin{array}{l}{x=8cost}\\{y=3sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
點Q的極坐標(biāo)為（4$\sqrt{2}$，$\frac{3π}{4}$），化為直角坐標(biāo)Q（-4，4）．
則PQ中點M（4cost-2，$\frac{3sint+4}{2}$）到曲線C₂上的點的距離d=$\frac{|4cost-2-（3sint+4）-7|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|5sin（t+α）+13|}{\sqrt{5}}$$≥\frac{13-5}{\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．當(dāng)sin（t+α）=-1時取等號．
故答案為：$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的參數(shù)方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．