某校舉行12•9愛國知識競賽,競賽規(guī)則是:每位選手有兩種方式可供選擇:方式一:回答三個關于12•9的歷史知識試題;方式二:回答兩個社會主義核心價值觀的綜合試題.方式一答對一個得3分,答錯得0分;方式二答對一個得2分,答錯得0分.已知小李在兩種方式中答對每題的概率分別是
1
4
和p(0<p<1).
(1)若小李選擇方式一,求小李至少得3分的概率;
(2)若將兩種方式得分的數(shù)學期望高者作為選擇的標準,如果小李最終選擇了方式二,求p的取值范圍.
考點:離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式
專題:概率與統(tǒng)計
分析:(1)小李選擇方式一,小李至少得3分是指小李至少答對一個題,由此能求出小李至少得3分的概率.
(2)小李選擇方式一,答對題的個數(shù)X~B(3,
1
4
),得分ξ的可能取值為0,3,6,9,由此能求出Eξ=
19
8
,小李選擇方式二,答對題的個數(shù)Y~B(2,p),得分η的可能取值為0,2,4,由此能求出Eη=4p,由此能求出p的取值范圍.
解答: 解:(1)小李選擇方式一,小李至少得3分是指小李至少答對一個題,
∴小李至少得3分的概率:
P=1-(1-
1
4
)(1-
1
4
)(1-
1
4
)=
37
64

(2)小李選擇方式一,答對題的個數(shù)X~B(3,
1
4
),
得分ξ的可能取值為0,3,6,9,
P(ξ=0)=P(X=0)=
C
0
3
(
3
4
)3
=
27
64
,
P(ξ=3)=P(X=1)=
C
1
3
(
1
4
)(
3
4
)2
=
27
64

P(ξ=6)=P(X=2)=
C
2
3
(
1
4
)2(
3
4
)
=
9
64
,
P(ξ=9)=P(X=3)=
C
3
3
(
1
4
)3
=
1
64

∴方式一得分的數(shù)學期望Eξ=
27
64
+3×
27
64
+6×
9
64
+9×
1
64
=
19
8
,
小李選擇方式一,答對題的個數(shù)Y~B(2,p),
得分η的可能取值為0,2,4,
P(η=0)=P(Y=0)=
C
0
2
(1-p)2=(1-p)2,
P(η=2)=P(Y=1)=
C
1
2
p(1-p)=2p(1-p)
,
P(η=4)=P(Y=2)=
C
2
2
p2
=p2,
∴方式二得分的數(shù)學期望Eη=0×(1-p)2+2×2p(1-p)+4p2=4p,
∵將兩種方式得分的數(shù)學期望高者作為選擇的標準,小李最終選擇了方式二,
∴4p>
19
8
,解得p>
19
32
,又0≤p≤1,
∴p的取值范圍是(
19
32
,1
].
點評:本題考查概率的求法,考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法,是中檔題,在歷年高考中都是必考題型之一.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

cos2
π
8
-
1
2
的值為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為矩形ABCD,E,F(xiàn)分別為AB,PC的中點,且PD=PE,PB=PC,求證:
(1)EF∥平面PAD;
(2)平面PDE⊥平面ABCD.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,側面PAD是等邊三角形,AB∥CD,AB=2CD,BC⊥CD,∠DBC=30°,點E,F(xiàn)分別為AD,PB的中點.
(1)求證:CF∥平面PAD;
(2)求證:平面PEB⊥平面ABCD.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
3
)
(x∈R),下面結論錯誤的是(  )
A、函數(shù)f(x)的最小正周期為π
B、函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,
5
12
π]
上是增函數(shù)
C、函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=0對稱
D、函數(shù)f(x+
π
6
)
是奇函數(shù)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

某高校甲,乙,丙,丁四位研究生新生可通過抽簽的方式,在A,B,C,D四位老師為導師,且他們對導師的選擇相互獨立.
(Ⅰ)求甲、乙、丙三人都選擇D為導師的概率;
(Ⅱ)求四位研究生至少有一人選擇C作為導師的概率;
(Ⅲ)設四位選手選擇B為導師的人數(shù)ξ,求ξ的分布列和數(shù)學期望.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′,化簡
AC
+
DB
-
DC

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=Asin(
x
2
+φ)( A>0,0<φ<π)的最大值是2,且f(0)=2.
(1)求φ的值;
(2)設α,β∈[0,
π
2
],f(2α)=
6
5
,f(2β+π)=-
10
13
,求sin(α+β)的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
|log2x|,0<x≤2
-x2+4x-3,x>2
,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則abc的取值范圍是( 。
A、[2,3]
B、(2,3)
C、[2,3)
D、(2,3]

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