Question

14．如圖所示，△ABC是正三角形，線段EA和DC都垂直于平面ABC，設EA=AB=2a，且F為的BE中點
（1）畫出平面BDE與平面ABC的交線（寫出畫法）
（2）求證：DF∥平面ABC
（3）求證：AF⊥BD．

Answer 1

分析 （1）延長AC與ED交于G點，連接BG；
（2）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理即可證明；
（3）利用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明．

解答 （1）解：如圖所示，BG′為平面ABC與BDE的交線；做法：延長AC與ED交于G點，連接BG．
（2）證明：如圖所示，取AB中點G，連CG、FG．
∵EF=FB，AG=GB，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$EA．
又DC$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$EA，
∴FG$\stackrel{∥}{=}$DC．
∴四邊形CDFG為平行四邊形，∴DF∥CG．
∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
（2）證明：∵EA⊥平面ABC，
∴AE⊥CG．
又△ABC是正三角形，G是AB的中點，
∴CG⊥AB．
∴CG⊥平面AEB．
又∵DF∥CG，
∴DF⊥平面AEB．
∴平面AEB⊥平面BDE．
∵AE=AB，EF=FB，
∴AF⊥BE．
∴AF⊥平面BED，
∴AF⊥BD．

點評 熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理與線面、面面垂直的判定和性質(zhì)定理及二面角的求法是解題的關(guān)鍵．