Question

3．給定兩個命題P：對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；Q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根；
（1）“a=0”是P的什么條件？
（2）如果P與Q中有且僅有一個為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若a=0，求出P成立的等價條件，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
（2）根據(jù)復(fù)合命題之間的關(guān)系分P真Q假和P假Q(mào)真，進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）若a=0，ax²+ax+1＞0等價為1＞0恒成立，
若a≠0，則ax²+ax+1＞0恒成立等價為判別式△=a²-4a＜0，且a＞0，
則0＜a＜4，綜上，P：0≤a＜4，即“a=0”是P的充分不必要條件；（答充分條件也對）        …（2分）
（2）對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立$?a=0或\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△＜0\end{array}\right.$?0≤a＜4；                                             …（5分）
關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根$?1-4a≥0?a≤\frac{1}{4}$；   …（7分）
如果P正確，且Q不正確，有$0≤a＜4，且a＞\frac{1}{4}∴\frac{1}{4}＜a＜4$；   …（9分）
如果Q正確，且P不正確，有$a＜0或a≥4，且a≤\frac{1}{4}∴a＜0$． …（11分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，0}）∪（{\frac{1}{4}，4}）$．                    …（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查復(fù)合命題的真假關(guān)系，利用分類討論是解決本題的關(guān)鍵．