Question

7．已知函數f（x）=e^x（x²+ax-a+1），其中a為常數．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在其定義域內存在減區(qū)間，求a的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，分別求出f（1），f′（1）的值，代入直線方程即可；（2）求出函數的導數，結合根的判別式求出a的范圍即可；
（3）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），求出g′（x），通過討論a的范圍，得到函數的單調區(qū)間，求出g（x）的最小值，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=e^x（x²+ax-a+1）可得f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]．
當a=1時，f（1）=2e，f′（1）=5e，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-2e=5e（x-1），
即5ex-y-3e=0                              （3分）
（2）由（1）知f′（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]，
若f（x）在其定義域內存在減區(qū)間，則f′（x）＜0有解，
即x²+（a+2）x+1＜0有解，
∴△=（a+2）²-4＞0，∴a＜-4或a＞0，
所以a的取值范圍為（-∞，-4）∪（0，+∞）．           （6分）
（3）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），
則關于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數根，
令g′（x）=e^x（x²+（2+a）x）=0，解得x=-（a+2）或x=0，
當-（a+2）≤0，即a≥-2時，在區(qū)間[0，+∞）上，g′（x）≥0，
所以g（x）是[0，+∞）上的增函數．
所以方程g（x）=k在[0，+∞）上不可能有兩個不相等的實數根．            （9分）
當-（a+2）＞0，即a＜-2時，g′（x），g（x）隨x的變化情況如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
g'（x）	0	-	0	+
g（x）	-a	↘	$\frac{a+4}{{{e^{a+2}}}}$	↗

由上表可知函數g（x）在[0，+∞）上的最小值為$g（-（a+2））=\frac{a+4}{{{e^{a+2}}}}$，
因為 函數g（x）是（0，-（a+2））上的減函數，是（-（a+2），+∞）上的增函數，
（且容易看出，當x→+∞時，g（x）→+∞，或：當x≥-a時，g（x）=e^x（x²+ax-a）≥x²+ax-a=x（x+a）-a≥-a）
所以要使方程g（x）=k即f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數根，
k的取值范圍必須是$（\frac{a+4}{{{e^{a+2}}}}，-a]$．（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道綜合題．